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Laplacian Eigenmap

El “Laplacian Eigenmap” es una técnica utilizada en el campo del aprendizaje automático y el análisis de datos, específicamente para la reducción de dimensionalidad y la incrustación no lineal de datos. Esta técnica tiene como objetivo descubrir la estructura geométrica subyacente de un conjunto de datos de alta dimensionalidad y representarla en un espacio de menor dimensión. Es especialmente útil cuando los datos tienen una estructura de variedad (manifold) que se desea preservar en la representación de menor dimensión.

Aquí tienes una explicación más detallada:

  1. Construcción del Grafo: Se construye un grafo que representa las relaciones entre los puntos de datos. Los nodos del grafo son los puntos de datos, y los bordes conectan puntos que son vecinos cercanos (según una métrica de distancia como la euclidiana).
  2. Matriz Laplaciana: Se calcula la matriz Laplaciana del grafo, que es una matriz que captura la estructura del grafo y las relaciones entre los nodos. La matriz Laplaciana se define como L=D−WL = D – W, donde DD es la matriz diagonal de grados (número de conexiones de cada nodo) y WW es la matriz de pesos de las conexiones.
  3. Cálculo de Autovalores y Autovectores: Se resuelve el problema de autovalores para la matriz Laplaciana, obteniendo los autovectores y autovalores. Los autovectores correspondientes a los menores autovalores (excluyendo el menor que es 0) son los que se utilizan para la nueva representación de los datos.
  4. Incrustación en Menor Dimensión: Los datos originales se proyectan en un espacio de menor dimensión utilizando los autovectores seleccionados. Esta nueva representación preserva las relaciones de proximidad de los datos originales en la medida de lo posible.

El resultado es una representación de los datos en un espacio de menor dimensión que mantiene la estructura geométrica intrínseca del conjunto de datos original. Esta técnica es útil en aplicaciones como la visualización de datos, el preprocesamiento para modelos de aprendizaje automático y la exploración de datos.

 

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